Wahrscheinlichkeitstheorie im handel, Was ist Stochastik?


Sie ist nach dem Botaniker Robert Brown benannt, der sie zuerst wahrscheinlichkeitstheorie im handel der mikroskopischen Untersuchung von Pollenkörnern in einem Wassertropfen beobachtete und beschrieb.

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In der Folgezeit zeigten Experimente, dass die physikalische Ursache der brownschen Bewegung in der Wärmebewegung der Flüssigkeits moleküle liegt. Er nahm darin an, dass die brownsche Bewegung, in moderner Sprechweise, ein stochastischer Prozess mit stetigen Pfaden und unabhängigen normalverteilten Zuwächsen ist, also grundlegende und aus physikalischer Sicht sinnvolle Bedingungen erfüllt.

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Andere, physikalisch ebenso notwendige Bedingungen setzte er jedoch nicht voraus, vor allem nicht, dass ein Teilchen in wahrscheinlichkeitstheorie im handel festen Zeitraum nur eine endliche Wegstrecke zurücklegen kann, die sogenannte Rektifizierbarkeit der Pfade.

Bei der Untersuchung der Eigenschaften dieses, ihm zu Ehren auch Wiener-Prozess genannten, Modells zeigte sich, dass dessen Pfade nicht rektifizierbar sind.

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Er betrachtete Verallgemeinerungen des Wiener-Prozesses, die sogenannten Markow-Prozesseund entwickelte eine Theorie zu ihrer Beschreibung. Er zeigte, dass sich diese Prozesse in einen nichtzufälligen Drift-Term und in einen rein stochastischen Anteil zerlegen lassen. Damit stellte Kolmogorow einen Zusammenhang zwischen ihren Wahrscheinlichkeitsverteilungen und bestimmten partiellen Differentialgleichungenden Kolmogorow-Gleichungendar.

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In seinen folgenden Arbeiten stellte er zudem eine Verbindung zu Kolmogorows Ergebnissen her, indem er bewies, dass die Lösungen seiner stochastischen Differentialgleichung die Kolmogorow-Gleichungen erfüllen. Diese verallgemeinert die Kettenregeldie Produktregeldie Substitutionsregel und die partielle Integration der klassischen Analysis auf stochastische Differentiale bzw.

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Joseph L. Doob beschäftigte sich zudem mit der Fragestellung, wie sein Zerlegungssatz für diskrete Prozesse auf den zeitkontinuierlichen Fall verallgemeinert werden kann.

Semimartingale sind in gewisser Weise die allgemeinste Klasse von stochastischen Prozessen, für die sich ein sinnvoller Integralbegriff definieren lässt. Scholes und Robert C. Darin ist der Kurs der zugrunde liegenden Aktie durch die im Einführungsabschnitt dieses Artikels hergeleitete stochastische Differentialgleichung gegeben.

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Diese lässt sich explizit lösen und ergibt somit Formeln für den Wert von Kauf- und Verkaufsoptionen auf die Aktie.